Sciences, Philosophie, Histoire – UMR 7219, laboratoire SPHERE

22/01/2014 Introduction to noncommutative geometry

par John Alexander Cruz Morales (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada, IMPA, Rio de Janeiro)

In this course I will give a brief introduction to the noncommutative geom-
etry in Connes’ sense. In the -rst part, I will start presenting a correspondence
between algebra and geometry in the context of Gelfand-Naimark theorem and
then introduce the notion of noncommutative quotients, Grupoids and Morita
equivalence. The goal in this part is try to discuss the importance of grupoids
in the framework of the noncommutative geometry. In the second part, I will
present a general discussion about Atiyah-Singer index theorem and some ideas
of K-theory. This will serve as a preparation for the presentation of the cyclic
(co)homology and Chern-Connes character in the third part of the course.

The course will be as self-contained as possible. Questions, comments and
discussions during the sessions will be very welcome and encouraged.

Bibliographie conseillée :

• A. Connes, Noncommutative geometry, Academic Press, Inc., San Diego,
  CA, 1994.
• J. M. Gracia-Bondia, J. C. Varilly, and H. Figueroa, Elements of Noncom-
  mutative Geometry, Birkhaeuser, 2000.
• N. Higson, and J. Roe, Analytic K-homology, Oxford Mathematical Mono-
  graphs. Oxford Science Publications. Oxford University Press, Oxford,
  2000.
• M. Karoubi, Homologie cyclique et K-thorie, Astrisque No. 149, 1987.
• Masoud Khalkhali, Very Basic Noncommutative Geometry
• J. Renaul, "A groupoid approach to C*—algebras", Lecture Notes in Mathe-
  matics, 793. Springer, Berlin, 1980.

22/01/2014 Introduction à l’équivalence de Morita

par Julien Page

On proposera une introduction à l’équivalence de Morita. Celle-ci apparaît notamment dans : 1) la théorie des représentations des Anneaux (et des Algèbres associatives) ; 2) la théorie des représentations des C*-Algèbres ; 3) la théorie des réalisations symplectiques des variétés de Poisson. Ainsi, deux anneaux A et B sont dit Morita équivalents si leur catégorie de modules à gauche A-Mod et B-Mod sont équivalentes. On montrera comment cette notion inventée dans les années 1950 par le mathématicien japonais Morita pour les anneaux, s’est naturellement étendue aux k-algèbres, aux C*-algèbres et aux variétés de Poisson. Et on présentera quelques enjeux conceptuels et problèmes techniques d’une telle équivalence.

Supposés connus : Les définitions d’un anneau, d’une algèbre, d’un A-module, d’une C*-algèbre, d’une variété de Poisson, d’une équivalence de catégories.

Bibliographie conseillée :

• Masoud Khalkhali, Basic Noncommutative Geometry, European Mathemayical Society (2009)
• Ping Xu, Morita Equivalence of Poisson Manifolds, Comm. Math. Phys. 142, 493-509 (1991)

06/11/2013–04/12/2013 Gravité et théories topologiques

par Dimitri Vey

Au cours des dernières décennies, un florilège d’actions et de théories (Einstein-Hilbert, Palatini, Einstein-Cartan, Plebanski, MacDowell-Mansouri, BF, Chern-Simons...) sont apparues comme autant de formulations possibles de la gravitation. L’intrication avec des termes topologiques (Holst, Euler, Pontryagin, Nieh-Yan), les notions de dualité de Hodge et d’auto-dualité sont des pierres angulaires de ces différentes constructions. L’objectif de ce cours est de faire une taxonomie des différentes actions utiles pour la théorie de la gravité, ainsi que des objets mathématiques associés (cadre géométrique, variables canoniques, dualité de Hodge,etc.). Nous insisterons sur :

I- Les relations entre les différentes formulations

II- Les principes directeurs sous-jacents à la construction des ces actions gravitationnelles.

L’idée est d’arriver à établir une hiérarchie de ces différentes formulations. En particulier, nous explorerons la tension entre les théories de type topologique et les contraintes spécifiques qui permettent de retrouver une théorie de type gravitationnel (avec apparition de degrés de libertés locaux).

Bibliographie conseillée

• Baez, J.C., "An introduction to spin foam models of BF theory and quantum gravity, in Geometry and Quantum Physics (Schladming, 1999)", Lecture Notes in Phys., Vol. 543, Editors H. Gausterer, H. Grosse, Springer, Berlin, 2000, 25-93, gr- qc/9905087
• Cattaneo, A.S., et al., "Topological BF theories in 3 and 4 dimensions", J. Math. Phys. 36 (1995), 6137-6160, hep-th/9505027.
• Freidel, L. and Starodubtsev, A., Quantum gravity in terms of topological observables
• Krasnov, K., Plebanski Formulation of General Relativity : A Practical Introduction.
• Wise, D.K., "MacDowell-Mansouri gravity and Cartan geometry", ClassicalQuantum Gravity 27 (2010), 155010, 26 pages, gr-qc/0611154.
• Zanelli J., Chern-Simons Forms in Gravitation Theories

25/09/2013–23/10/2013 Géométrie symplectique et quantification

par Gabriel Catren

L’objectif de ce cours est d’analyser les rapports entre trois concepts fondamentaux de la mécanique, à savoir les concepts d’état, d’observable et d’operateur. Pour cela, on fera une courte introduction à la géométrie symplectique en s’attardant particulièrement sur l’application moment introduite par J.-M. Souriau, sur le formalisme de réduction symplectique de Mardsen-Weinstein et sur la reformulation cohomologique de celui-ci (nommée cohomologie BRST). On analysera ensuite le rôle joué par ces structures géométriques « classiques » dans la procédure de quantification des systèmes classiques correspondants. Pour cela, on introduira la méthode des orbites développée par Kirillov pour étudier les représentations unitaires de groupes de Lie nilpotents et, si on a le temps, la méthode de quantification géométrique (B. Kostant, J.-M. Souriau, A.A. Kirillov).

Bibliographie

• Abraham, R. & Marsden, J.E. [1978] : Foundations of mechanics, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1978.
• Brylinski, J.L. [1993] : Loop spaces, characteristic classes, and geometric quantization, Boston : Birkhäuser Boston, Program of Mathematics, 107.
• Figueroa-O’Farrill, J.M. [1989] : BRST Cohomology and its Applications to Two Dimensional Conformal Field Theory, PhD dissertation.
• Guillemin, V. and Sternberg, S. [1982] : Geometric Quantization and Multiplicities of Group Representations, Invent. math., 67, 515-538.
• Henneaux, M. and Teitelboim, C. [1994] : Quantization of gauge systems, Princeton Univ. Press.
• Kirillov, A.A. [2004] : Lectures on the Orbit Method, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 64, AMS.
• Kostant, B. [1970] : Quantization and Unitary representations, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 170, Berlin-Heidelberg-New York : Springer-Verlag.
• Kostant, B. and Sternberg, S. [1987] : Symplectic Reduction, BRS Cohomology, and Infinite Dimensional Clifford Algebras, Annals of Physics 176, 49-113.
• Landsman, N.P. [1998] : Mathematical Topics Between Classical and Quantum Mechanics, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, New York.
• Marsden, J.E. and Ratiu, T.S. [1999] : Introduction to Mechanics and Symmetry, second ed., Springer-Verlag, New York.
• Souriau, J.M. [1997] : Structure of dynamical systems. A symplectic view of physics. Boston : Birkhäuser, 1997.
• Woodhouse, N. [1992] : Geometric quantization, Oxford : Oxford University Press.